Limit

- Januari 04, 2023

A. Limit Fungsi Aljabar

Pada dasarnya, limit adalah suatu nilai yang menggunakan pendekatan fungsi ketika hendak mendekati nilai tertentu. Singkatnya, limit ini dianggap sebagai nilai yang menuju suatu batas. Disebut sebagai “batas” karena memang ‘dekat’ tetapi tidak bisa dicapai. Lalu, mengapa limit tersebut harus didekati? Karena suatu fungsi biasanya tidak terdefinisikan pada titik-titik tertentu. Meskipun suatu fungsi itu seringkali tidak terdefinisikan oleh titik-titik tertentu, tetapi masih dapat dicari tahu berapa nilai yang dapat didekati oleh fungsi tersebut, terlebih ketika titik tertentu semakin didekati oleh “limit”.

Misalkan f adalah fungsi yang terdefinisi pada interval tertentu yang memuat a, kecuali di a itu sendiri, sedangkan L adalah suatu bilangan riil. Maka fungsi f dapat dikatakan memiliki limit L untuk x mendekati a, sehingga ditulis Namun, hanya jika untuk setiap bilangan kecil ε > 0 terdapat

bilangan δ > 0 sedemikian rupa sehingga jika 0 < |x-a| <δ maka |f(x)-L| <ε. Pernyataan tersebut dinamakan definisi limit secara umum.

Rumus Limit

Dalam ilmu matematika, konsep limit ini ditulis berupa: apabila x mendekati a tetapi x tidak sama dengan a, maka f(x) akan mendekati L. Pendekatan x ke a ini dapat dilihat dari dua sisi, yakni sisi kiri dan sisi kanan. dengan kata lain bahwa x juga dapat mendekati dari arah kiri dan arah kanan sehingga nantinya akan menghasilkan limit kiri dan limit kanan.

Maka dari itu, diperolehlah pernyataan bahwa:

0 <|x-p|<δ⇔|f(x) – L|ε

suatu fungsi dapat dikatakan memiliki limit apabila antara limit kiri dan limit kanan juga mempunyai besar nilai yang sama. Apabila limit kiri dan limit kanan tidak sama, maka nilai limitnya juga tidak akan ada.

Sifat Fungsi Limit Aljabar

Apabila n adalah bilangan bulat positif, k adalah konstanta, f dan g adalah fungsi yang mempunyai limit di c, maka sifat-sifatnya akan berupa:

Metode Dalam Pemecahan Limit Fungsi Aljabar

Ada beberapa metode yang lebih sederhana untuk menentukan limit, yakni dengan metode substitusi, memfaktorkan, dan merasionalkan penyebut. Bagaimana saja cara yang diterapkan dalam metode-metode tersebut, yuk simak ulasan berikut!

1. Menentukan Limit dengan Substitusi

Apabila nilai suatu fungsi untuk x mendekati a, yang mana a adalah bilangan riil, maka dapat ditentukan dengan cara substitusi. Dalam cara substitusi ini nantinya akan mengganti nilai x dengan a. Namun, apabila hasilnya menjadi (∞-∞) atau 0/0 ∞/∞. Maka cara ini tidak dapat diterapkan secara langsung. Ada baiknya jika fungsi yang diambil limitnya itu perlu disederhanakan lagi. Perhatikan contoh berikut.

hasil dari limit $x \to 3 lim 2 x - 5$ adalah 1

Dengan menggunakan cara substitusi, didapat nilai limit sebagai berikut:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow 3 of 2 x minus 5 end cell equals cell 2 left parenthesis 3 right parenthesis minus 5 end cell row blank equals cell 6 minus 5 end cell row blank equals 1 end table

Dengan demikian, hasil dari limit $x \to 3 lim 2 x - 5$ adalah 1

2. Menentukan Limit dengan Memfaktorkan

Dalam cara ini, anggap saja kita memiliki soal berupa lim→a f(x)/g(x) . Nah, seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, apabila x = a maka dapat disubstitusikan pada fungsi yang diambil limitnya tersebut, sehingga akan menghasilkan

Maka dari itu, fungsi tersebut harus disederhanakan lagi dengan cara memfaktorkan f(x) dan g(x) sehingga keduanya dapat memiliki faktor yang sama. Selanjutnya, faktor yang sama itu dapat dihilangkan sehingga akan memperoleh bentuk yang lebih sederhana lagi, seperti berikut:

3. Menentukan Limit dengan Merasionalkan Penyebut

Dalam metode ini, apabila dalam suatu fungsi yang akan ditentukan nilai limitnya itu ternyata sulit disederhanakan karena memuat penyebut yang tidak rasional, maka dapat diselesaikan dengan merasionalkan penyebutnya terlebih dahulu. Cara merasionalkan penyebut pada suatu pecahan ini pernah kita pelajari ketika SD, apakah Grameds masih ingat? , perhatikan pembahasan dibawah:

Contoh:

CONTOH SOAL

1. Tentukan :

2. Tentukan :

3. Tentukan:

Daftar pusaka

https://www.gramedia.com/literasi/limit-fungsi-aljabar/

B. Teorema Limit

Definisi dari limit ini menyatakan bahwa suatu fungsi f(x) akan mendekati nilai tertentu jika x mendekati nilai tertentu.

Pendekatan ini terbatas antara dua bilangan positif yang sangat kecil yang disebut sebagai epsilon dan delta.

Hubungan ke-2 bilangan positif kecil ini terangkum dalam definisi limit.

ketika kita menemukan bentuk seperti itu coba untuk sederhanakan fungsi tersebut.

Jika itu bentuk persamaan kuadrat kita bisa coba memfaktorkan atau dengan cara asosiasi, dan jangan lupa aturan a2-b2 = (a+b) (a-b).

Berikut adalah contohnya :

Rumus cepat limit bentuk ∞/∞

Limit (∞-∞)

Bentuk (∞-∞) sering sekali muncul pada saat ujian nasional.

Bentuk soalnya sangat beragam. Namun, penyelesaiannya tidak jauh dari penyederhanaan.

Daftar pusaka

https://gurubelajarku.com/limit-fungsi/

C. Limit Tak Tertentu

Nilai limit dapat diperoleh dengan hanya mensubstitusikan nilai x ke dalam limit fungsi. But, hasilnya adalah berupa limit bentuk tentu dan tak tentu. To clarify, catatan pada gambar di atas juga telah menjelaskan bahwa jika hasilnya adalah bentuk tentu maka itulah hasil nilai limitnya.

Contoh

Aturan I’Hopital.

Pada tahun 1696, Guillaume Francois Antoine de I’Hopital menerbitkan buku pertama tentang kalkulus diferensial; di dalamnya ada aturan di bawah ini, yang ia peroleh dari gurunya bernama Johann Bernoulli.

Mari kita lihat beberapa contoh penerapan dari aturan I’Hopital. Perhatikan bahwa dalam aturan I’Hopital, suatu limit dapat diganti dengan limit lain yang lebih sederhana dan tidak lagi berbentuk 0/0.